Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Metode Ekspansi Kofaktor
Pada artikel ini, kita akan membahas cara lain untuk memperoleh determinan suatu matriks yakni dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor.
Kita telah mempelajari dua cara menghitung determinan matriks. Pertama dengan menggunakan metode Sorrus dan kedua dengan menggunakan operasi baris elementer. Pada artikel ini, kita akan membahas cara lain untuk memperoleh determinan suatu matriks yakni dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor.
Ada dua istilah yang perlu dipahami terlebih dahulu yakni minor entri dan kofaktor entri. Kita definisikan sebagai berikut.
Jika \(A\) adalah matriks kuadrat dengan entri atau elemennya \(a_{ij}\), maka yang disebut minor entri \(a_{ij}\) atau dinotasikan dengan \(M_{ij}\) adalah determinan submatriks setelah baris ke \(i\) dan kolom ke \(j\) dicoret dari \(A\). Bilangan \((-1)^{(i + j)} M_{ij}\) yang dinotasikan dengan \(C_{ij}\) dinamakan kofaktor entri \(a_{ij}\).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh soal berikut.
Misalkan terdapat matriks berikut.
Tentukan minor entri dan kofaktor dari \(a_{11}\) dan \(a_{32}\).
Dari definisi yang diberikan di atas, maka minor entri \(a_{11}\) adalah
Perhatikan bahwa di sini kita mencoret baris dan kolom pertama dari matriks A sehingga diperoleh submatriks baru berukuran 2 x 2. Determinan dari submatriks yang diperoleh disebut minor entri \(a_{11}\).
Dengan demikian, kofaktor \(a_{11}\) yaitu
Hal yang sama dapat kita lakukan untuk mencari minor entri \(a_{32}\), yakni
dan kofaktor \(a_{32}\) yaitu
Perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen \(a_{ij}\) hanya berbeda dalam tandanya, yakni, \(C_{ij} = ±M_{ij}\). Cara cepat untuk menentukan penggunaan tanda + atau tanda – berasal dari kenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan \(C_{ij}\) dan \(M_{ij}\) berada dalam baris ke \(i\) dan kolom ke \(j\) dari susunan
Misalnya, \(C_{21} = -M_{21}\), \(C_{12} = -M_{12}, C_{22} = M_{22}\), dan seterusnya.
Sekarang kita akan mengaitkan apa yang telah kita pelajari di atas mengenai minor entri dan kofaktor entri dengan pencarian determinan suatu matriks. Misalkan diketahui matriks A berukuran \(3 × 3\) sebagai berikut:
\[ A = \left[ {\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} } \right] \]
Kita tahu bahwa determinan dari matriks A dapat ditentukan dengan Rumus Sorrus, yakni:
yang mana dapat dituliskan kembali sebagai:
Karena pernyataan-pernyataan dalam kurung tak lain adalah kofaktor-kofaktor \(C_{11}, C_{21}\), dan \(C_{31}\), maka kita peroleh
Persamaan (1) memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktornya dan kemudian menjumlahkan hasil kalinya. Metode menghitung det(A) ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.
Contoh 2: Menghitung Determinan
Misalkan diketahui matriks A sebagai berikut.
Hitunglah \(\det(A)\) dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.
Dari persamaan (1) diperoleh
Dengan cara yang sama seperti kita lakukan untuk memperoleh persamaan (1), determinan matriks A dapat dihitung dengan rumus berikut:
Perhatikan bahwa dalam setiap persamaan semua entri-entri dan kofaktor berasal dari baris atau dari kolom yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi-ekspansi kofaktor \(\det(A)\).
Hasil-hasil yang baru saja kita berikan untuk matriks \(3×3\) membentuk kasus khusus dari teorema umum berikut:
Determinan matriks \(A\) yang berukuran \(n × n\) dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni, untuk setiap \(1≤i≤n\) dan \(1≤j≤n\), maka
Contoh 3: Menghitung Determinan
Tinjaulah matriks A berikut.
Hitunglah det(A) dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama.
Dari persamaan (2) baris kedua diperoleh
Ini sesuai dengn hasil yang kita peroleh pada contoh kita sebelumnya.
Pada contoh ini kita tak perlu menghitung kofaktor akhir, karena kofaktor tersebut dikalikan oleh nol. Umumnya, strategi terbaik untuk menghitung determinan dengan menggunakan ekpansi kofaktor adalah dengan mengekspansikannya sepanjang baris atau kolom yang mempunyai bilangan nol yang terbanyak.
Ekspansi kofaktor dan operasi baris atau operasi kolom kadang-kadang dapat digunakan bersama-sama untuk memberikan metode yang efektif untuk menghitung determinan. Contoh berikut melukiskan gagasan ini.
Contoh 4: Menghitung Determinan
Hitunglah \(\det(A)\) di mana
Dengan menambahkan perkalian yang sesuai dari baris kedua pada baris selebihnya, kita dapatkan
Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra : applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.
75%75% found this document useful, Mark this document as useful
25%25% found this document not useful, Mark this document as not useful
Belanja di App banyak untungnya:
Determinan Matriks Berordo 1×1
Pada pembahasan ini, akan dipelajari determinan matriks berordo 2×2. Determinan matriks dinotasikan “det(A)” atau |A|. Namun sebelum itu, perhatikan definisi determinan matriks berordo 1×1 berikut.
Definisi: Diberikan matriks A = [a]. Determinan matriks A, dinotasikan adalah .
Catatan: notasi lain untuk determinan matriks A adalah |A|.
Definisi di atas merupakan determinan matriks berordo 1×1. Misalkan,
diberikan matriks B = [5] dan C = [-4]. Tentukan determinan dari matriks B dan C!
Berdasarkan definisi determinan matriks berordo 1×1, det(B) = 5 dan det(C) = -4.
Rumus Kofaktor Matriks Ordo 2×2
Rumus Minor Matriks Ordo 2×2
Strategi Pertumbuhan dalam Matriks Ansoff
Penerapan strategi atau model matriks Ansoff juga banyak dijadikan sebagai tolok ukur yang menentukan pertumbuhan pasar. Setiap elemen dalam matriks ini sesuai dengan strategi pertumbuhan tertentu di antaranya:
Saat menggunakan strategi penetrasi pasar, manajemen berusaha untuk menjual lebih banyak produk yang ada ke pasar yang mereka kenal. Strategi eksekusi yang umumnya dilakukan meliputi:
- Pengingkatan upaya pemasaran atau merampingkan proses distribusi
- Penurunan harga untuk menarik pelanggan baru dalam segmen pasar
- Akuisisi pesaing di pasar yang sama
Sederhananya, konsep ini digunakan untuk meningkatkan penjualan produk yang ada ke pelanggan. Hal ini biasanya dilakukan dengan menarik pelanggan dari pasar pesaing yang saat ini belum menggunakan produk.
Pembuktian Rumus Determinan Matriks
Langkah-langkah membuktikan rumus determinan matriks adalah sebagai berikut.
Pengembangan Produk
Sebuah bisnis yang kuat selalu mendengar atau mengetahui target konsumen tertentu yang mungkin potensial untuk memperluas pangsa pasar. Misalnya untuk mewujudkan sebuah loyalitas merek dapat dicapai dengan berbagai cara.
Contohnya, brand memproduksi dan menjual produk perawatan rambut yang populer di untuk perempuan usia 28-35 tahun. Untuk memanfaatkan popularitas dan brand loyalty dengan demografis ini, mereka berinvestasi besar-besaran dalam produksi lini produk perawatan rambut baru agar target pasar yang ada akan mengadopsinya.
Secara relatif, strategi diversifikasi umumnya merupakan upaya dengan risiko tertinggi. Dalam hal ini, dibutuhkan pengembangan produk maupun pengembangan pasar. Meskipun merupakan strategi yang berisiko tertinggi, strategi ini dapat menuai hasil yang besar.
Bisnis Anda dapat mencapai peluang pendapatan yang sama sekali baru atau dengan mengurangi ketergantungan perusahaan pada satu produk atau pasar yang sesuai. Hal ini bisa dilakukan dengan berpindah ke pasar baru dengan produk atau layanan baru, meningkatkan penjualan dengan basis pelanggan yang ada, atau akuisisi.
Pengembangan Pasar
Strategi pengembangan pasar dalam praktiknya tidak berisiko karena tidak memerlukan investasi yang signifikan dalam riset atau pengembangan produk. Sebaliknya, langkah ini memungkinkan manajerial untuk memanfaatkan produk yang ada dan membawanya ke pasar yang berbeda dengan beberapa pendekatan berikut di antaranya:
- Melayani segmen pelanggan yang berbeda atau target demografis
- Memasuki pasar domestik baru (ekspansi regional)
- Memasuki pasar luar negeri (ekspansi internasional)
Contohnya adalah Lululemon yang melakukan keputusan untuk secara agresif berekspansi ke pasar Asia Pasifik. Mereka menjual produk-produk olahraga yang sudah sangat populer. Membangun infrastruktur periklanan dan logistik di pasar luar negeri secara inheren menghadirkan risiko, tapi berhasil diminimalisasi dengan road map yang baik.
Pembuktian Determinan Matriks Ordo 2×2
Dengan menggunakan minor dan kofaktor matriks, diperoleh:
Langkah selanjutnya dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama atau baris kedua. Diperoleh:
Pengertian Matriks Ansoff
Matriks Ansoff adalah kerangka dasar yang diajarkan oleh sekolah bisnis di seluruh dunia. Ini dapat menjadi cara sederhana dan intuitif untuk memvisualisasikan keputusan yang dapat dibuat oleh tim manajemen saat mempertimbangkan peluang pertumbuhan.
Fokus ini dijadikan sebagai salah satu model yang paling banyak digunakan. Tujuannya untuk mengevaluasi peluang dan meningkatkan penjualan dengan menunjukkan kombinasi alternatif bagi pasar baru (yaitu segmen pelanggan dan lokasi geografis) terhadap produk dan layanan yang menawarkan empat strategi yaitu penetrasi pasar, pengembangan pasar, pengembangan produk, dan diversifikasi.
